指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教案

　　作為一名教職工，總不可避免地需要編寫教案，借助教案可以有效提升自己的教學(xué)能力。教案應(yīng)該怎么寫呢？下面是小編為大家收集的指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教案1

　　指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(練習(xí))

　　學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　1. 掌握n次方根的求解;

　　2. 會用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示根式;

　　3. 掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.

　　學(xué)習(xí)過程

　　一、課前準(zhǔn)備

　　(復(fù)習(xí)教材P48~ P53，找出疑惑之處)

　　復(fù)習(xí)1：什么叫做根式? 運(yùn)算性質(zhì)?

　　像 的式子就叫做 ，具有性質(zhì)：

　　= ; = ; = .

　　復(fù)習(xí)2：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪如何定義?運(yùn)算性質(zhì)?

　　① ; .

　　其中

　�、� ; ;

　　.

　　復(fù)習(xí)3：填空.

　�、� n為 時， .

　�、� 求下列各式的值：

　　= ; = ; = ;

　　= ; = ;

　　= ; = .

　　二、新課導(dǎo)學(xué)

　　※ 典型例題

　　例1 已知 =3，求下列各式的值：

　　(1) ; (2) ; (3) .

　　補(bǔ)充：立方和差公式 .

　　小結(jié)：① 平方法;② 乘法公式;

　　③ 根式的基本性質(zhì) (a0)等.

　　注意， a0十分重要，無此條件則公式不成立. 例如， .

　　變式：已知 ，求：

　　(1) ; (2) .

　　例2從盛滿1升純酒精的'容器中倒出 升，然后用水填滿，再倒出 升，又用水填滿，這樣進(jìn)行5次，則容器中剩下的純酒精的升數(shù)為多少?

　　變式：n次后?

　　小結(jié)：① 方法：摘要審題;探究 結(jié)論;

　�、� 解應(yīng)用問題四步曲：審題建模解答作答.

　　※ 動手試試

　　練1. 化簡： .

　　練2. 已知x+x-1=3，求下列各式的值.

　　(1) ; (2) .

　　練3. 已知 ，試求 的值.

　　三、總結(jié)提升

　　※ 學(xué)習(xí)小結(jié)

　　1. 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算;

　　2. 乘法公式的運(yùn)用.

　　※ 知識拓展

　　1. 立方和差公式：

　　;

　　.

　　2. 完全立方公式：

　　;

　　.

　　學(xué)習(xí)評價

　　※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為( ).

　　A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差

　　※ 當(dāng)堂檢測(時量：5分鐘 滿分：10分)計分：

　　1. 的值為( ).

　　A. B. C. 3 D. 729

　　2. (a0)的值是( ).

　　A. 1 B. a C. D.

　　3. 下列各式中成立的是( ).

　　A. B.

　　C. D.

　　4. 化簡 = .

　　5. 化簡 = .

　　課后作業(yè)

　　1. 已知 , 求 的值.

　　2. 探究： 時, 實(shí)數(shù) 和整數(shù) 所應(yīng)滿足的條件.

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教案2

　　教學(xué)分析

　　我們在初中的學(xué)習(xí)過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì).從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù).進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.

　　教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個問題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價值.后一個問題讓學(xué)生體會其中的函數(shù)模型的同時，激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識的學(xué)習(xí)作了鋪墊.

　　本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時，充分關(guān)注與實(shí)際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

　　根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計算器和計算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.

　　三維目標(biāo)

　　1.通過與初中所學(xué)的知識進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì).掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類比的能力.

　　2.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.通過運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理.

　　3.能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計算能力.

　　4.通過訓(xùn)練及點(diǎn)評，讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過觀察，進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔美和統(tǒng)一美.

　　重點(diǎn)難點(diǎn)

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解.

　　(2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

　　(3)運(yùn)用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值.

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解.

　　(2)有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

　　課時安排

　　3課時

　　教學(xué)過程

　　第1課時

　　作者：路致芳

　　導(dǎo)入新課

　　思路1.同學(xué)們在預(yù)習(xí)的過程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它們所處的年代?(考古學(xué)家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個問題我們不太清楚)考古學(xué)家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的.教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算.

　　思路2.同學(xué)們，我們在初中學(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算.

　　推進(jìn)新課

　　新知探究

　　提出問題

　　(1)什么是平方根?什么是立方根?一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢?

　　(2)如x4=a，x5=a，x6=a，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢?

　　(3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎?

　　(4)可否用一個式子表達(dá)呢?

　　活動：教師提示，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時候已經(jīng)學(xué)過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發(fā)學(xué)生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學(xué)生的思維.

　　討論結(jié)果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負(fù)數(shù)沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.

　　(2)類比平方根、立方根的定義，一個數(shù)的四次方等于a，則這個數(shù)叫a的四次方根.一個數(shù)的五次方等于a，則這個數(shù)叫a的五次方根.一個數(shù)的六次方等于a，則這個數(shù)叫a的六次方根.

　　(3)類比(2)得到一個數(shù)的n次方等于a，則這個數(shù)叫a的n次方根.

　　(4)用一個式子表達(dá)是，若xn=a，則x叫a的n次方根.

　　教師板書n次方根的意義：

　　一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈N*.

　　可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

　　提出問題

　　(1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目).①4的平方根;②±8的立方根;③16的`4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

　　(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點(diǎn)?4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應(yīng)什么性質(zhì) 的數(shù)，有什么特點(diǎn)?

　　(3)問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，還有零，結(jié)論有一個的，也有兩個的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢?

　　(4)任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢?

　　活動：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個數(shù)a的n次方根，就是求出的那個數(shù)的n次方等于a，及時點(diǎn)撥學(xué)生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來，觀察數(shù)的 特點(diǎn)，對問題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.

　　討論結(jié)果：(1)因?yàn)椤?的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所 以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

　　(2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數(shù)和偶數(shù).總的來看，這些數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零.

　　(3)一個數(shù)a的奇次方根只有一個，一個正數(shù)a的偶次方根有兩個，是互為相反數(shù).0的任何次方根都是0.

　　(4)任何一個數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在，因?yàn)闆]有一個數(shù)的偶次方是一個負(fù)數(shù).

　　類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：

　�、佼�(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用-na表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成±na(a>0).

　　②n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示.

　　③負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是零.

　　上面的文字語言可用下面的式子表示：

　　a為正數(shù)：n為奇數(shù)， a的n次方根有一個為na，n為偶數(shù)， a的n次方根有兩個為±na.

　　a為負(fù)數(shù)：n為奇數(shù)， a的n次方根只有一個為na，n為偶數(shù)， a的n次方根不存在.

　　零的n次方根為零，記為n0=0.

　　可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例.

　　思考

　　根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種情況?

　　活動：教師提示學(xué)生對方根的性質(zhì)要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負(fù)數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學(xué)生，隨機(jī)給出一個數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學(xué)生在舉例過程中的問題.

　　解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等.其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個名稱——根式.

　　根式的概念：

　　式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù).

　　如3-27中，3叫根指數(shù)，-27叫被開方數(shù).

　　思考

　　nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎?如果不一定成立，那么nan等于什么?

　　活動：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論.教師點(diǎn)撥，注意歸納整理.

　　〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕.

　　解答：根據(jù)n次方根的意義，可得：(na)n=a.

　　通過探究得到：n為奇數(shù)，nan=a.

　　n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　因此我們得到n次方根的運(yùn)算性質(zhì)：

　�、�(na)n=a.先開方，再乘方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù).

　�、趎為奇數(shù)，nan=a.先奇次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù).

　　n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù)的絕對值.

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