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等比數(shù)列教案
作為一名教師，就有可能用到教案，借助教案可以有效提升自己的教學能力。教案應(yīng)該怎么寫才好呢？下面是小編整理的等比數(shù)列教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
等比數(shù)列教案1
【教學目標】
知識目標：正確理解等比數(shù)列的定義，了解公比的概念，明確一個數(shù)列是等比數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列,了解等比數(shù)列在生活中的應(yīng)用。
能力目標：通過對等比數(shù)列概念的歸納，培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣；通過對等比數(shù)列的研究，逐步培養(yǎng)學生觀察、類比、歸納、猜想等思維能力并進一步培養(yǎng)學生善于思考，解決問題的能力。
情感目標：培養(yǎng)學生勇于探索、善于猜想的學習態(tài)度，實事求是的科學態(tài)度，調(diào)動學生的積極情感，主動參與學習，感受數(shù)學文化。
【教學重點】
等比數(shù)列定義的歸納及運用。
【教學難點】
正確理解等比數(shù)列的定義，根據(jù)定義判斷或證明某些數(shù)列是否為等比數(shù)列
【教學手段】
多媒體輔助教學
【教學方法】
啟發(fā)式和討論式相結(jié)合,類比教學.
【課前準備】
制作多媒體課件，準備一張白紙,游標卡尺。
【教學過程】
【導入】
復習回顧：等差數(shù)列的定義。
創(chuàng)設(shè)問題情境，三個實例激發(fā)學生學習興趣。
1． 利用游標卡尺測量一張紙的厚度.得數(shù)列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)
2． 一輛汽車的售價約15萬元,年折舊率約為10%,計算該車5年后的價值。得到數(shù)列 15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 ,…，15×0.95。
3． 復利存款問題，月利率5%，計算10000元存入銀行1年后的本利和。得到數(shù)列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512.
學生探究三個數(shù)列的共同點，引出等比數(shù)列的定義。
【新課講授】
由學生根據(jù)共同點及等差數(shù)列定義,自己歸納等比數(shù)列的定義，再由老師分析定義中的關(guān)鍵詞句,并啟發(fā)學生自己發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列各項的限制條件：等比數(shù)列各項均不為零，公比不為零。
等差數(shù)列:
一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的.公差,通常用d表示.數(shù)學表達式： an+1-an=d
等比數(shù)列:
一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用q表示.數(shù)學表達式： an?1
an?q
知曉定義的基礎(chǔ)上，帶領(lǐng)學生看書p29頁，書上前面出現(xiàn)的關(guān)于等比數(shù)列的實
例。讓學生了解等比數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用很廣泛，要認真學好。
在學生對等比數(shù)列的定義有了初步了解的基礎(chǔ)上，講解例一。給出具體的數(shù)列，會利用定義判斷是否為等比數(shù)列。對（1）（5）兩小題著重分析.
等比數(shù)列教案2
一、教學目標：
1.知識與技能：理解并掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并且能夠初步應(yīng)用。
2.過程與方法：通過觀察、類比、猜測等推理方法，提高我們分析、綜合、抽象、
概括等邏輯思維能力。
3.情感態(tài)度價值觀：體會類比在研究新事物中的作用，了解知識間存在的共同規(guī)律。
二、重點：等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用。
難點：等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用。
三、教學過程。
同學們，我們已經(jīng)學習了等差數(shù)列，又學習了等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，今天我們繼續(xù)學習等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用。我給大家發(fā)了導學稿，讓大家做了預(yù)習，現(xiàn)在找同學對照下面的表格說說等差數(shù)列和等比數(shù)列的差別。
數(shù)列名稱 等差數(shù)列 等比數(shù)列
定義 一個數(shù)列，若從第二項起 每一項減去前一項之差都是同一個常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列。 一個數(shù)列，若從第二項起 每一項與前一項之比都是同一個非零常數(shù)，則這個數(shù)列是等比數(shù)列。
定義表達式 an-an-1=d (n≥2)
(q≠0)
通項公式證明過程及方法
an-an-1=d; an-1-an-2=d，
…a2-a1=d
an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法 ; …….
an=a1q n-1
累乘法
通項公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1
多媒體投影(總結(jié)規(guī)律)
數(shù)列名稱 等差數(shù)列 等比數(shù)列
定 義 等比數(shù)列用“比”代替了等差數(shù)列中的“差”
定 義
表
達 式 an-an-1=d (n≥2)
通項公式證明
迭加法 迭乘法
通 項 公 式
加-乘
乘—乘方
通過觀察，同學們發(fā)現(xiàn)：
等差數(shù)列中的 減法、加法、乘法，
等比數(shù)列中升級為 除法、乘法、乘方.
四、探究活動。
探究活動1：小組根據(jù)導學稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學生代表上來講解練習1;等差數(shù)列的性質(zhì)1;猜想等比數(shù)列的性質(zhì)1;性質(zhì)證明。
練習1 在等差數(shù)列{an}中，a2= -2,d=2，求a4=_____..(用一個公式計算) 解：a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2
等差數(shù)列的性質(zhì)1： 在等差數(shù)列{an}中, a n=am+(n-m)d.
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)1 若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則an=am*qn-m
性質(zhì)證明 右邊= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左邊
應(yīng)用 在等比數(shù)列{an}中，a2= -2 ,q=2，求a4=_____. 解：a4= a2q4-2=-2*22=-8
探究活動2：小組根據(jù)導學稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學生代表上來講解練習2;等差數(shù)列的性質(zhì)2;猜想等比數(shù)列的性質(zhì)2;性質(zhì)證明。
練習2 在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8的值為 . 解：a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180
等差數(shù)列的性質(zhì)2： 在等差數(shù)列{an}中, 若m+n=p+q,則am+an=ap+aq 特別的，當m=n時，2 an=ap+aq
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)2 在等比數(shù)列{an} 中，若m+n=s+t則am*an=as*at 特別的，當m=n時，an2=ap*aq
性質(zhì)證明 右邊=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左邊 證明的方向:一般來說，由繁到簡
應(yīng)用 在等比數(shù)列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,則a3+a5=_____. 解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
由于an>0，a3+a5>0,a3+a5=6
探究活動3：小組根據(jù)導學稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學生代表上來講解練習3;等差數(shù)列的性質(zhì)3;猜想等比數(shù)列的性質(zhì)3;性質(zhì)證明。
練習3 在等差數(shù)列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____. 解：a60=2* a45- a30=2×90-10=170
等差數(shù)列的性質(zhì)3： 若an-k,an,an+k是等差數(shù)列{an}中的三項， 則這些項構(gòu)成新的等差數(shù)列，且2an=an-k+an+k
an即時an-k,an,an+k的等差中項
猜想等比數(shù)列的`性質(zhì)3 若an-k,an,an+k是等比數(shù)列{an}中的三項，則這些項構(gòu)成新的等比數(shù)列，且an2=an-k*an+k
an即時an-k,an,an+k的等比中項
性質(zhì)證明 右邊=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左邊 證明的方向:由繁到簡
應(yīng)用 在等比數(shù)列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.
解：a60= = =810
應(yīng)用 等比數(shù)列{an}中，a15=10, a45=90,a60=________. 解：
a30= = = 30
A60=
探究活動4：小組根據(jù)導學稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學生代表上來講解練習4;等差數(shù)列的性質(zhì)4;猜想等比數(shù)列的性質(zhì)4;性質(zhì)證明。
練習4 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 都是等差數(shù)列，若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=_____. 解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35
等差數(shù)列的性質(zhì)4： 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公差分別為d1、d2的等差數(shù)列,則數(shù)列{an+bn}是公差d1+d2的等差數(shù)列 兩個項數(shù)相同的等差數(shù)列的和任然是等差數(shù)列
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)4 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比數(shù)列,則數(shù)列{an*bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列 兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列的和比一定是等比數(shù)列，兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列的積任然是等比數(shù)列。
性質(zhì)證明 證明：設(shè)數(shù)列{an}的首項是a1，公比為q1; {bn}的首項為b1，公比為q2，設(shè)cn=anbn那么數(shù)列{anbn} 的第n項與第n+1項分別為：
應(yīng)用 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 都是等比數(shù)列，若a1b1=7,a3b3=21,則a5b5=_____. 解：由題意可知{anbn}是等比數(shù)列，a3b3是a1b1;a5b5的等比中項。
由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63
(四個探究活動的設(shè)計充分尊重學生的主體地位，以學生的自主學習，自主探究為主題，以教師的指導為輔，開展教學活動)
五、等比數(shù)列具有的單調(diào)性
(1)q<0,等比數(shù)列為 擺動 數(shù)列， 不具有 單調(diào)性
(2)q>0(舉例探討并填表)
a1 a1>0 a1<0
q的范圍 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1
{an}的單調(diào)性 單調(diào)遞減 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞減
讓學生舉例說明，并查驗有多少學生填對。(真確評價)
六、課堂練習：
1、已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6等于( ).
A. B.7 C.6 D.
解析:由已知得a32=5, a82=10,
∴a4a5a6=a53= = =5 .
答案:A
2、已知數(shù)列1,a1,a2,4是等比數(shù)列,則a1a2= .
答案:4
3、 +1與 -1兩數(shù)的等比中項是( ).
A.1 B.-1 C. D.±1
解析：根據(jù)等比中項的定義式去求。答案:選D
4、已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3a9=2 ,a2=1,則a1等于( ).
A.2 B. C. D.
解析:∵a3a9= =2 ,∴ =q2=2,∵q>0,∴q= .故a1= = = .
答案:C
5練習題：三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，
它們的積等于64，求這三個數(shù)。
分析：若三個數(shù)成等差數(shù)列，則設(shè)這三個數(shù)為a-d,a,a+d.
由類比思想的應(yīng)用可得，若三個數(shù)成等比數(shù)列，則設(shè)這三個數(shù)
為： 根據(jù)題意
再由方程組可得：q=2 或
既這三個數(shù)為2，4，8或8，4，2。
七、小結(jié)
本節(jié)課通過觀察、類比、猜測等推理方法，研究等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，從而培養(yǎng)和提高我們綜合運用分析、綜合、抽象、概括，邏輯思維解決問題的能力。
八、
§3.1.2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
性質(zhì)一：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則an=am*qn-m
性質(zhì)二：在等比數(shù)列{an} 中，若m+n=s+t則am*an=as*at
性質(zhì)三：若an-k,an,an+k是等比數(shù)列{an}中的三項，則這些
項構(gòu)成新的等比數(shù)列，且 an2=an-k*an+k
性質(zhì)四：設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比
數(shù)列,則數(shù)列{an*bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列
板書設(shè)計
九、反思
等比數(shù)列教案3
等比數(shù)列的性質(zhì)
知能目標解讀
1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來。
2.理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用。
3.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并能綜合運用。
重點難點點撥
重點：等比數(shù)列性質(zhì)的運用。
難點：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用。
學習方法指導
1.在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)三項及以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個新的數(shù)列，則此數(shù)列仍為等比數(shù)列，這是因為隨意取出連續(xù)三項及以上的數(shù)，則以取得的第一個數(shù)為首項，且仍滿足從第2項起，每一項與它的前一項的比都是同一個常數(shù)，且這個常數(shù)量仍為原數(shù)列的公比，所以，新形成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。
2.在等比數(shù)列中，我們?nèi)稳∠陆菢顺傻炔畹娜椉耙陨系臄?shù)，按原數(shù)列的先后順序排列所構(gòu)成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，簡言之：下角標成等差，項成等比。我們不妨設(shè)從等比數(shù)列{an}中依次取出的數(shù)為ak，ak+m，ak+2m，ak+3m，…，則===…=qm(q為原等比數(shù)列的公比)，所以此數(shù)列成等比數(shù)列。
3.如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q，c是不等于零的常數(shù)，那么數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，且公比仍為q；？{|an|}？也是等比，且公比為|q|.我們可以設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，且滿足=q，則==q，所以數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，公比為q.同理，可證{|an|}也是等比數(shù)列，公比為|q|.
4.在等比數(shù)列{an}中，若m+n=t+s且m，n，t，s∈N+則aman=atas.理由如下：因為aman=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2，atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2，又因為m+n=t+s，所以m+n-2=t+s-2，所以aman=atas.從此性質(zhì)還可得到，項數(shù)確定的等比數(shù)列，距離首末兩端相等的兩項之積等于首末兩項之積。
5.若{an}，{bn}均為等比數(shù)列，公比分別為q1，q2，則
(1){anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2.
(2){}仍為等比數(shù)列，且公比為.
理由如下：(1)=q1q2，所以{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2；(2)=，所以{}仍為等比數(shù)列，且公比為.
知能自主梳理
1.等比數(shù)列的項與序號的關(guān)系
(1)兩項關(guān)系
通項公式的推廣：
an=am(m、n∈N+).
(2)多項關(guān)系
項的運算性質(zhì)
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，則aman=.
特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，則aman=.
2.等比數(shù)列的項的對稱性
有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積(若有中間項則等于中間項的平方)，即a1an=a2=ak=a2(n為正奇數(shù)).
[答案] 1.qn-m apaq a2p
2.an-1 an-k+1
思路方法技巧
命題方向 運用等比數(shù)列性質(zhì)an=amqn-m(m、n∈N+)解題
[例1] 在等比數(shù)列{an}中，若a2=2，a6=162，求a10.
[分析] 解答本題可充分利用等比數(shù)列的`性質(zhì)及通項公式，求得q，再求a10.
[解析] 解法一：設(shè)公比為q，由題意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×(-3)9=13122.
解法二：∵a6=a2q4，∴q4===81，∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比數(shù)列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
[說明] 比較上述三種解法，可看出解法二、解法三利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，使問題變得簡單、明了，因此要熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，在解有關(guān)等比數(shù)列的問題時，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用。
變式應(yīng)用1 已知數(shù)列{an}是各項為正的等比數(shù)列，且q≠1，試比較a1+a8與a4+a5的大小。
[解析] 解法一：由已知條件a1>0，q>0，且q≠1，這時
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)(1-q4)
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0，顯然，a1+a8>a4+a5.
解法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解。
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
當0
當q>1時，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞增，1-q3與a1-a5同為負數(shù)，∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正。
∴a1+a8>a4+a5.
命題方向運用等比數(shù)列性質(zhì)aman=apaq(m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q)解題
[例2] 在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12=5，則a8a9a10a11=( )
A.10 B.25 C.50 D.75
[分析] 已知等比數(shù)列中兩項的積的問題，常常離不開等比數(shù)列的性質(zhì)，用等比數(shù)列的性質(zhì)會大大簡化運算過程。
[答案] B
[解析] 解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
[說明] 在等比數(shù)列的有關(guān)運算中，常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運算，若按照常規(guī)解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩，為此我們經(jīng)常結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，進行整體變換，會起到化繁為簡的效果。
變式應(yīng)用2 在等比數(shù)列{an}中，各項均為正數(shù)，且a6a10+a3a5=41，a4a8=5，求a4+a8.
[解析] ∵a6a10=a28，a3a5=a24，∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5，an>0，∴a4+a8===.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向 等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用
[例3] 試判斷能否構(gòu)成一個等比數(shù)列{an}，使其滿足下列三個條件：
�、賏1+a6=11；②a3a4=；③至少存在一個自然數(shù)m，使am-1，am，am+1+依次成等差數(shù)列，若能，請寫出這個數(shù)列的通項公式；若不能，請說明理由。
[分析] 由①②條件確定等比數(shù)列{an}的通項公式，再驗證是否符合條件③.
[解析] 假設(shè)能夠構(gòu)造出符合條件①②的等比數(shù)列{an}，不妨設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由條件①②及a1a6=a3a4，得
a1+a6=11 a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
從而，或.
q=2q=
故所求數(shù)列的通項為an=2n-1或an=26-n.
對于an=2n-1，若存在題設(shè)要求的m，則
2am=am-1+(am+1+)，得
2(2m-1)=2m-2+2m+，得
2m+8=0，即2m=-8，故符合條件的m不存在。
對于an=26-n，若存在題設(shè)要求的m，同理有
26-m-8=0，即26-m=8，∴m=3.
綜上所述，能夠構(gòu)造出滿足條件①②③的等比數(shù)列，通項為an=26-n.
[說明] 求解數(shù)列問題時應(yīng)注意方程思想在解題中的應(yīng)用。
變式應(yīng)用3 在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a2是a1與a4的等比中項，已知數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，……成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項kn.
[解析] 由題意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，又d≠0，∴a1=d.
∴an=nd.
又a1，a3，ak1，ak2，……，akn，……成等比數(shù)列，∴該數(shù)列的公比為q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd，∴kn=3n+1.
所以數(shù)列{kn}的通項為kn=3n+1.
名師辨誤做答
[例4] 四個實數(shù)成等比數(shù)列，且前三項之積為1，后三項之和為1，求這個等比數(shù)列的公比。
[誤解] 設(shè)這四個數(shù)為aq-3，aq-1，aq，aq3，由題意得
a3q-3=1，①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q，把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0，解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比為.
[辨析] 上述解法中，四個數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q2，則公比為正數(shù)，但題設(shè)并無此條件，因此導致結(jié)果有誤。
[正解] 設(shè)四個數(shù)依次為a，aq，aq2，aq3，由題意得
(aq)3=1， ①
aq+aq2+aq3=1.�、�
由①得a=q-1，把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0，解得q=或q=-，故所求公比為或-.
課堂鞏固訓練
一、選擇題
1.在等比數(shù)列{an｝中，若a6=6，a9=9，則a3等于( )
A.4 B. C. D.3？
[答案] A？
[解析] 解法一：∵a6=a3q3，∴a3q3=6.？
a9=a6q3，∴q3==.
∴a3==6×=4.
解法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得
a26=a3a9，∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比數(shù)列{an｝中，a4+a5=10，a6+a7=20，則a8+a9等于( )
A.90 B.30 C.70 D.40
[答案] D
[解析] ∵q2==2，？
∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.
3.如果數(shù)列{an｝是等比數(shù)列，那么( )？
A.數(shù)列{a2n｝是等比數(shù)列 B.數(shù)列{2an｝是等比數(shù)列
C.數(shù)列{lgan｝是等比數(shù)列 D.數(shù)列{nan｝是等比數(shù)列
[答案] A
[解析] 數(shù)列{a2n｝是等比數(shù)列，公比為q2，故選A.
二、填空題
4.若a，b，c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則它們的公比為.？
[答案] 1？
2b=a+c，[解析] 由題意知
b2=ac，解得a=b=c，∴q=1.
5.在等比數(shù)列{an｝中，公比q=2，a5=6，則a8=.？
[答案] 48
[解析] a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答題
6.已知{an}為等比數(shù)列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11.？
[解析] ∵{an}為等比數(shù)列，？
∴a1a9=a3a7=64，又a3+a7=20，？
∴a3，a7是方程t2-20t+64=0的兩個根。？
∴a3=4，a7=16或a3=16，a7=4，？
當a3=4時，a3+a7=a3+a3q4=20，？
∴1+q4=5，∴q4=4.？
當a3=16時，a3+a7=a3(1+q4)=20，∴1+q4=，∴q4=.？
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
課后強化作業(yè)
一、選擇題
1.在等比數(shù)列{an}中，a4=6，a8=18，則a12=( )
A.24 B.30 C.54 D.108？
[答案] C？
[解析] ∵a8=a4q4，∴q4===3，∴a12=a8q4=54.
2.在等比數(shù)列{an｝中，a3=2-a2，a5=16-a4，則a6+a7的值為( )
A.124 B.128 C.130 D.132
[答案] B？
[解析] ∵a2+a3=2，a4+a5=16，？
又a4+a5=(a2+a3)q2，∴q2=8.？
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.
3.已知{an｝為等比數(shù)列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20？
[答案] A？
[解析] ∵a32=a2a4，a52=a4a6，？
∴a32+2a3a5+a52=25，∴(a3+a5)2=25，？
又∵an>0，∴a3+a5=5.
4.在正項等比數(shù)列{an｝中，a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根，則a8a10a12等于( )
A.16 B.32 C.64 D.256？
[答案] C？
[解析] 由已知，得a1a19=16，？
又∵a1a19=a8a12=a102，∴a8a12=a102=16，又an>0，？
∴a10=4，∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9=2a25，a2=1，則a1=( )？
A. B. C. D.2？
[答案] B？
[解析] ∵a3a9=a26，又∵a3a9=2a25，？
∴a26=2a25，∴()2=2，？
∴q2=2，∵q>0，∴q=.
又a2=1，∴a1===.
6.在等比數(shù)列{an｝中，an>an+1，且a7a11=6，a4+a14=5，則等于( )
A. B. C. D.6
[答案] A
a7a11=a4a14=6
[解析] ∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵an>an+1，∴a4=3，a14=2.
∴==.
7.已知等比數(shù)列{an｝中，有a3a11=4a7，數(shù)列{bn｝是等差數(shù)列，且b7=a7，則b5+b9等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
[答案] C
[解析] ∵a3a11=a72=4a7，∵a7≠0，∴a7=4，∴b7=4，∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0
( )
A.等差數(shù)列？ B.等比數(shù)列？
C.各項倒數(shù)成等差數(shù)列？ D.以上都不對？
[答案] C？
[解析] ∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac.？
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=，？
∴+=.
二、填空題
9.等比數(shù)列{an｝中，an>0，且a2=1+a1，a4=9+a3，則a5-a4等于.
[答案] 27
[解析] 由題意，得a2-a1=1，a4-a3=(a2-a1)q2=9，∴q2=9，又an>0，∴q=3.？
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.
10.已知等比數(shù)列{an｝的公比q=-，則等于.
[答案] -3
[解析] =
==-3.
11.等比數(shù)列{an}中，an>0，且a5a6=9，則log3a2+log3a9=.
[答案] 2
[解析] ∵an>0，∴l(xiāng)og3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.(20xx廣東文，11)已知{an｝是遞增等比數(shù)列，a2=2，a4-a3=4，則此數(shù)列的公比q= .
[答案] 2？
[解析] 本題主要考查等比數(shù)列的基本公式，利用等比數(shù)列的通項公式可解得。
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，？
因為a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=-1，或q=2.
因為an為遞增數(shù)列，所以q=2.
三、解答題
13.在等比數(shù)列{an｝中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比為整數(shù)，求a10.
[解析] ∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比為整數(shù)，∴a3=-4，a8=128，q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×(-2)7=512.
14.設(shè){an｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3，b1b2b3=-3，求此等比數(shù)列的通項公式an.？
[解析] 由b1+b2+b3=3，？
得log2(a1a2a3)=3，∴a1a2a3=23=8，∵a22=a1a3，∴a2=2，又b1b2b3=-3，設(shè)等比數(shù)列{an｝的公比為q，得？
log2()log2(2q)=-3.
解得q=4或，∴所求等比數(shù)列{an｝的通項公式為
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工廠20xx年生產(chǎn)某種機器零件100萬件，計劃到20xx年把產(chǎn)量提高到每年生產(chǎn)121萬件。如果每一年比上一年增長的百分率相同，這個百分率是多少？20xx年生產(chǎn)這種零件多少萬件？.
[解析] 設(shè)每一年比上一年增長的百分率為x，則從20xx年起，連續(xù)3年的產(chǎn)量依次為a1=100，a2=a1(1+x)，a3=a2(1+x)，即a1=100，a2=100(1+x)，a3=100(1+x)2，成等比數(shù)列。
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21，∴1+x=1.1或1+x=-1.1，？
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，？
a2=100(1+x)=110(萬件)，？
所以每年增長的百分率為10%，20xx年生產(chǎn)這種零件110萬件。
16.等差數(shù)列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比數(shù)列。求數(shù)列{an}前20項的和S20.
[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d.
由a3，a6，a10成等比數(shù)列得a3a10=a26，？
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2，？
整理得10d2-10d=0，解得d=0或d=1.
當d=0時，S20=20a4=200，？
當d=1時，a1=a4-3d=10-3×1=7，？
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.
等比數(shù)列教案4
一、教材分析與學情分析
“等比數(shù)列前n項和(一)”是教學等差數(shù)列前n項和后的數(shù)列求和，它是數(shù)列教學的重點。因此，知識目標是等比數(shù)列的前n項和公式及公式推導和思路，它是本節(jié)的重點，也是基于等比數(shù)列的“等比”特性的一種特殊求和方法。再對公比q的討論，從而得到等比數(shù)列的前n項和公式。
由于是理科實驗班的教學，學生起點高，能力較強，通過創(chuàng)設(shè)適當?shù)膯栴}情景，引出數(shù)學教學的內(nèi)容，在“觀察”、“類比”、“分析”、“思考”、“探究”等活動中，引導學生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，通過親身的探究，主動的思考，進而聯(lián)想推出等比數(shù)列的求和公式。而德育目標則是通過自主探究，學生自己動手，激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，陶冶學生的情操，提高學生的數(shù)學修養(yǎng)、科學的學習態(tài)度和創(chuàng)新精神。本課融數(shù)學文化于其中，使學生在良好的數(shù)學文化的氛圍中快樂的學習，在數(shù)學的美中享受學習數(shù)學的快樂。
二、教學目標
1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式推導和思路;
2.培養(yǎng)學生的綜合能力，提高學生的數(shù)學修養(yǎng);
3.會靈活運用等比數(shù)列的前n項和公式解決問題.
三、教學重點、教學難點
教學重點
1.等比數(shù)列的前n項和公式;
2.等比數(shù)列的前n項和公式推導.
教學難點
1.錯項相減的數(shù)學思想方法
2.使用公式求和時，對q=1和q≠1的情況加以討論;
四、教學方法
1.啟發(fā)討論法(老師引導，學生自己動手，學生討論)
2.利用多媒體、投影儀
五、設(shè)計思路
1.等比數(shù)列n項和公式(一)教學的“三步曲”
第一步，由故事創(chuàng)設(shè)情景，使學生提出問題，進而引出課題
第二步，學生觀察、分析等比數(shù)列的前n項中各項的特點，進而探索解決問題的方法。
第三步，學生在公式的推導中，特別是對公比q的討論。
學生解決問題前要“設(shè)想”----解決過程中要“聯(lián)想”(解決的方法)----解決后要“回想”(即反思)的良好思維過程。
2.例題與練習的設(shè)計
整節(jié)課是“啟發(fā)、練習、探索”，邊啟發(fā)、邊練習、邊思考、邊討論。以學生活動為中心，設(shè)計例題由簡單到復雜，融數(shù)學文化為一體，使數(shù)學文化與數(shù)學問題交相輝映、珠聯(lián)璧合。例1“求等比數(shù)列
(1)前9項的和;(2)從第4項到第6項的和;(3)前9項中奇數(shù)項的和”是鞏固等比數(shù)列n項和公式，在(1)問中設(shè)計了公比為負的障礙，在(2)問探討求和的不同方法，(3)問探討奇數(shù)項是公比為q2的等比數(shù)列，進而訓練學生的思維。例2是培養(yǎng)學生分類討論的思想。例3給出一個錯誤的解答，培養(yǎng)學生批判性思維。例4“遠望巍巍塔七層,燈光點點倍加增，此塔共燈二五四,請問塔尖幾盞燈?”由七言詩提出問題，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。
3.最后設(shè)計探究問題
在課堂最后設(shè)計了兩個探究性問題：
①求和：;②.你能用等比數(shù)列的定義與等比定理推導Sn嗎?警示學生等比數(shù)列中的三個“暗礁”。既鍛煉了學生全面考慮問題的習慣，又培養(yǎng)了學生探索問題的能力。
六、教學過程
(一)創(chuàng)設(shè)情境、提出問題：
師：若，(q為常數(shù)，)，{an}是等比數(shù)列嗎?學生回答。
(師：著名的數(shù)學家希爾伯特說過“一個問題解決了，一個新的問題又產(chǎn)生了”，請同學們看屏幕上國王賞麥的故事)
“國王賞麥的故事”
印度國王西拉謨與國際象棋發(fā)明家的故事，國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者,問他有什么要求,發(fā)明者說:“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒,在第2個格子里放上2顆麥粒,在第3個格子里放上4顆麥粒,在第4個格子里放上8顆麥粒,依此類推,每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒的2倍,直到第64個格子,請給我足夠的糧食來實現(xiàn)上述要求”.國王覺得這并不是很難辦到的,就欣然同意了他的要求.
提問：
1.你認為身為一國之君的國王能拿出這么多麥粒嗎?
2.你想知道計算麥粒的總數(shù)的`方法嗎?
由于每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍,且共有64個格子,各個格子里的麥粒數(shù)依次是1，2，22，23，24……263于是發(fā)明者要求的麥粒總數(shù)就是1+2+22+23+24……+263=?
(板書課題:等比數(shù)列前n項和)
(二)公式的推導：
回答問題：麥粒數(shù)為1+2+22+23+24……+263=18446744073709551615約為7000億噸!!
設(shè)計意圖：學生自己觀察、分析、探索培養(yǎng)解決問題的能力。使學生親自參與、自己動手和洞察問題。
(三)公式應(yīng)用：
設(shè)計意圖：1.公式的應(yīng)用;2.思維的訓練;3.方法的討論
例2、已知{an}為等比數(shù)列，且a3=3,S3=3，求a1q.
分析及討論：當q=1時，a1=a2=a3=3與S3=3矛盾
2.數(shù)學思想和方法：
�、馘e項相減;②分類討論;③方程的思想。
(六)思考與研究：
1.求和：Sm=a+2a2+3a3+L+nan學生練習、討論)
2.你能用等比數(shù)列的定義與等比定理推導Sn嗎?(學生自己探索)
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生探索問題的能力和創(chuàng)新精神。
(七)作業(yè)：課本P143練習
師：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，希望同學們加強訓練。然而引起了學生的共鳴，大家一起面帶微笑的背誦
七、板書設(shè)計
八、教學反思
“等比數(shù)列的前n項和(一)”是高中教材中較難的一節(jié)課，筆者依據(jù)新課程的理念，“教師為主導、學生為主體、探究為主線、思維為主攻”的教學思想。對這節(jié)課的教學作了一點嘗試。在教學實踐中學生精神飽滿、興趣濃厚、合作積極，與我保持的良好的互動，收到了較好的效果。
1.設(shè)計及其反思的改進
由“國王賞麥”的故事提出問題、引出課題，引導學生探究等比數(shù)列前n項和，在引導學生探究等比數(shù)列和的計算方法，使學生觀察、分析、類比、聯(lián)想，如何解決問題。有意識的使學生在推導過程中，沒有考慮到公比的q=1和q≠1情形。從而突破了公比的q=1和q≠1難點，學生在推導公式中通過自己探究解決了“錯項相減”的重要數(shù)學思想。對問題的探索用等比數(shù)列的定義與等比定理推導等比數(shù)列的前n項和公式與“錯項相減”的數(shù)學思想有同工異曲之妙。高中新課程正強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識，強調(diào)返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。教師應(yīng)把數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教學形態(tài)。
2.新課程理念
(1)以學生為主體
愛因斯坦說過：“單純的專業(yè)知識灌輸只能產(chǎn)生機器，而不可能造就一個和諧發(fā)展的人才”，因此數(shù)學學習的核心是思考，離開思考就沒有真正的數(shù)學。這節(jié)課，教師創(chuàng)設(shè)了一系列的問題情景，邊展示，邊提問，讓學生邊觀察，邊思考，邊討論。鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維參與和行為參與，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題的解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。在教學難點處適當放慢節(jié)奏，給學生充分的時間進行思考與討論，讓學生做課堂的主人，充分發(fā)表自己的意見。激勵的語言、輕松愉悅的氛圍、民主的教學方式，不僅使學生品嘗到類比成功的歡愉，而且也使其受到美的韻味的熏陶。
(2)巧設(shè)情景，倡導自主探索、合作交流的學習方式
學生的數(shù)學學習活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習，還應(yīng)倡導自主探索、合作交流等學習方式，這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下，不斷經(jīng)歷只管感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程，體驗等比數(shù)列前n項和公式的“在創(chuàng)造”過程，讓學生在生生互動、師生互動中掌握知識，提高解決問題的能力。
蘇霍姆林說過：“在人的內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者和探索者�！北竟�(jié)課正是抓住學生的這一心理需求，從新課引入到課后作業(yè)，創(chuàng)設(shè)了一系列“數(shù)學探究”活動，為學生開展積極主動的、多樣的學習方式，創(chuàng)設(shè)有利條件，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，并鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考，積極探索的習慣。
(3)滲透數(shù)學文化和情感教育
高中數(shù)學課程提倡體數(shù)學的文化價值，體會數(shù)學的科學價值，應(yīng)用價值、人文價值，開闊視野，探究數(shù)學發(fā)展的歷史軌跡，提高文化素養(yǎng)，養(yǎng)成求實、說理、批判、質(zhì)疑等理性的習慣和鍥而不舍的追求真理精神。這節(jié)課使用中外數(shù)學文化熏陶學生心靈，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，提高學生對數(shù)學的認識，營造熱愛數(shù)學的氛圍，增強學習信心。
(4)激勵評價
馬斯洛特別指出：“自尊需要的滿足使人產(chǎn)生一種自信的感情，覺得自己在這個世界上有價值、有實力、有能力、有用處，而這一需要一旦受挫就會使人產(chǎn)生一種自卑、軟弱、無能之感覺”。因此，當學生獲得成功時應(yīng)及時給予評價表揚，并讓其他學生一道分享成功的歡樂;當學生遇到困難或失敗信心不足時，應(yīng)及時進行勉勵，注意從失敗中挖掘部分成功，并繼續(xù)幫助學生從失敗中走向成功，以保護學生的自尊心。
等比數(shù)列教案5
教學目標
1.理解的概念，掌握的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題。
（1）正確理解的定義，了解公比的概念，明確一個數(shù)列是的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是，了解等比中項的概念；
�。�2）正確認識使用的表示法，能靈活運用通項公式求的首項、公比、項數(shù)及指定的項；
�。�3）通過通項公式認識的性質(zhì)，能解決某些實際問題。
2.通過對的研究，逐步培養(yǎng)學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì)。
3.通過對概念的歸納，進一步培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態(tài)度。
教學建議
教材分析
（1）知識結(jié)構(gòu)
是另一個簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應(yīng)用。
�。�2）重點、難點分析
教學重點是的定義和對通項公式的認識與應(yīng)用，教學難點在于通項公式的推導和運用。
①與等差數(shù)列一樣，也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項公式得出的特性，這些是教學的重點。
�、陔m然在等差數(shù)列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉；在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力；第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點。
③對等差數(shù)列、的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點。
教學建議
�。�1）建議本節(jié)課分兩課時，一節(jié)課為的概念，一節(jié)課為通項公式的.應(yīng)用。
�。�2）概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到的定義。也可將幾個等差數(shù)列和幾個混在一起給出，由學生將這些數(shù)列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括的定義。
�。�3）根據(jù)定義讓學生分析的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解。
�。�4）對比等差數(shù)列的表示法，由學生歸納的各種表示法。啟發(fā)學生用函數(shù)觀點認識通項公式，由通項公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象。
�。�5）由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗，的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn)。
�。�6）可讓學生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學生的主體作用。
教學設(shè)計示例
課題：的概念
教學目標
1.通過教學使學生理解的概念，推導并掌握通項公式。
2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學生的觀察、概括能力。
3.培養(yǎng)學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。
教學重點，難點
重點、難點是的定義的歸納及通項公式的推導。
教學用具
投影儀，多媒體軟件，電腦。
教學方法
討論、談話法。
教學過程
一、提出問題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標準。（幻燈片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
�、�243，81，27，9，3，1，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
�、�1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
�、�1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
�、�0，0，0，0，0，0，0，…
由學生發(fā)表意見（可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類），統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為）.
二、講解新課
請學生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題。假設(shè)每經(jīng)過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設(shè)開始有一個變形蟲，經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲，…，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù)這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列——.（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）
�。ò鍟�
1.的定義（板書）
根據(jù)與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給下定義。學生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下，有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學生概括出來的。教師寫出的定義，標注出重點詞語。
請學生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數(shù)列既是等差數(shù)列又是。學生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例。而后請學生概括這類數(shù)列的一般形式，學生可能說形如的數(shù)列都滿足既是等差又是，讓學生討論后得出結(jié)論：當時，數(shù)列既是等差又是，當時，它只是等差數(shù)列，而不是。教師追問理由，引出對的認識：
2.對定義的認識（板書）
�。�1）的首項不為0；
（2）的每一項都不為0，即；
問題：一個數(shù)列各項均不為0是這個數(shù)列為的什么條件？
�。�3）公比不為0
用數(shù)學式子表示的定義。
是①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成，可讓學生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為是？為什么不能？
式子給出了數(shù)列第項與第項的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個？（不能）確定一個需要幾個條件？當給定了首項及公比后，如何求任意一項的值？所以要研究通項公式。
3.的通項公式（板書）
問題：用和表示第項
�、俨煌耆珰w納法
②疊乘法，…，這個式子相乘得，所以
�。ò鍟�1）的通項公式
得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式。
（板書）（2）對公式的認識
由學生來說，最后歸結(jié)：
①函數(shù)觀點；
�、诜匠趟枷耄ㄒ蛟诘炔顢�(shù)列中已有認識，此處再復習鞏固而已）.
這里強調(diào)方程思想解決問題。方程中有四個量，知三求一，這是公式最簡單的應(yīng)用，請學生舉例（應(yīng)能編出四類問題）.解題格式是什么？（不僅要會解題，還要注意規(guī)范表述的訓練）
如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更高層次的應(yīng)用，下節(jié)課再研究。同學可以試著編幾道題。
三、小結(jié)
1.本節(jié)課研究了的概念，得到了通項公式；
2.注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比；
3.用方程的思想認識通項公式，并加以應(yīng)用。
四、作業(yè)（略）
五、板書設(shè)計
1.的定義
2.對定義的認識
3.的通項公式
�。�1）公式
（2）對公式的認識
探究活動
將一張很大的薄紙對折，對折30次后（如果可能的話）有多厚？不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米。
參考答案：
30次后，厚度為，這個厚度超過了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度。如果紙再薄一些，比如紙厚0.001毫米，對折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了。還記得國王的承諾嗎？第31個格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了，后邊的格子中的米就更多了，最后一個格子中的米應(yīng)是粒，用計算器算一下吧（用對數(shù)算也行）.
等比數(shù)列教案6
教學內(nèi)容：
人教版小學數(shù)學教材六年級下冊第107～108頁例2及相關(guān)練習。
教學目標：
1.在學習過程中引導學生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學會利用圖形來解決一些有關(guān)數(shù)的問題。
2.讓學生經(jīng)歷猜想與驗證的過程，體會和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學思想。
重點難點：
探索數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，并利用圖形來解決有關(guān)數(shù)的問題。
教學準備：
教學課件。
教學過程：
一、直接導入，揭示課題
同學們，在上一堂課中，我們一起探討了圖形中隱藏的數(shù)學規(guī)律，并且發(fā)現(xiàn)了一些有關(guān)數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。今天我們將繼續(xù)深入研究這個有趣的課題，探究數(shù)學和圖形之間更多的奧秘。（板書課題：數(shù)與形）。
【設(shè)計意圖】直奔主題，簡潔明了，有利于學生清楚本節(jié)課學習的內(nèi)容和方向。
二、探索發(fā)現(xiàn)，學習新知
�。ㄒ唬┙處熍c學生比賽算題
1.教師：你知道等于多少嗎？（學生：）
教師：那等于多少呢？（學生計算需要時間）教師緊接著說：我已經(jīng)算好了，是，不信你算算。
2.只要按照這個分子是1，分母依次擴大2倍的規(guī)律寫下去，不論有多少個分數(shù)相加，我都能立即算出結(jié)果。有人對此表示懷疑嗎？那么我們來試一試就知道了。為了方便起見，我邀請了班級中最擅長計算的同學與我一同進行計算，看看我們的結(jié)果是否相同。誰來出個題目呢？
在學生出題后，老師都能立刻算出結(jié)果，并且是正確的，學生感到很驚奇。
3.知道我為什么算得那么快嗎？因為我有一件神秘的法寶，你們也想知道嗎？
【設(shè)計意圖】一方面，教師通過與學生比賽計算速度，進而激發(fā)學生的好奇心和求知欲。每次老師勝利都能引發(fā)學生的興趣，并通過幽默的語言吸引他們的注意力。另一方面，這個活動為接下來學習例題做好了鋪墊。為了更好地達到教學目標，我們要對上述內(nèi)容進行修改，使其具備原創(chuàng)性。
（二）借助正方形探究計算方法
1.這個神奇的寶物就在師邊說話的同時，展示了一個正方形�，F(xiàn)在讓我們來對它進行一些變化，相信聰明的同學們一定能夠理解其中的奧秘。
2.進行演示講解。
（1）演示：用一個正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。
想一想：正方形中涂色部分與空白部分以及整個正方形之間存在如下關(guān)系：涂色部分等于整個正方形減去空白部分的面積�？瞻撞糠终颊麄�正方形的面積比例為1減去涂色部分的比例。因此，涂色部分也可以通過整個正方形的面積乘以1減去空白部分所占比例來計算。
（2）繼續(xù)演示，誰知道除了通分，還可以怎么算？
根據(jù)學生回答，板書。
�。�3）演示：那么計算就可以得到？。
3.看到這兒，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？
4.總結(jié)：根據(jù)這個規(guī)律，無論要加到幾分之一，只需要將1減去這個幾分之一即可得到答案。
5.這個法寶怎么樣？誰來說說它好在哪里？你學會了嗎？
6.嘗試練習
【設(shè)計目的】通過將復雜的數(shù)量運算轉(zhuǎn)化為簡單的圖形面積計算，旨在幫助學生從繁瑣中找到簡潔，從困難中找到易解，同時引導學生主動探索數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系，培養(yǎng)他們數(shù)學思維和歸納推理能力。
（三）知識提升，探索發(fā)現(xiàn)
1.感受極限。
�。�1）剛才我們已經(jīng)從一直加到了，如果我繼續(xù)加，加到，得數(shù)等于？再接著加，一直加到，得數(shù)等于？隨著不斷繼續(xù)加，你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來越？（大）無數(shù)個這樣的數(shù)相加，和會是多少呢？
�。�2）這時候你心中有沒有一個大膽的猜想？（學生猜想：這樣一直加下去，得數(shù)會不會就等于1了。）
（3）想象一下，如果我們在剛才的過程中不斷在正方形上涂色，那么空白部分的面積將會越來越小，而涂色部分的面積將會越來越接近整個正方形的面積。也就是說，求和得到的結(jié)果將會越來越接近1。但最終得數(shù)是否等于1呢？我們可以通過一種方法來證明。假設(shè)我們將正方形分成無限多個相等的子正方形，每個子正方形的邊長為1/n，其中n為正整數(shù)。我們可以看出，當n趨向于無窮大時，子正方形的面積趨近于0�，F(xiàn)在我們來計算每個子正方形涂色的面積。首先，我們知道正方形的面積是1。由于我們不斷涂色，每個子正方形涂色的面積可以表示為1/n×1/n=1/n^2。因此，我們可以得到所有子正方形涂色的面積之和為1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2。根據(jù)數(shù)學原理，當n趨向于無窮大時，級數(shù)1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2收斂于一個特定的值，即Σ(1/n^2)。這個值被稱為無窮級數(shù)的極限，它約等于1.64493。因此，我們可以得出結(jié)論，即使我們在正方形上進行不斷涂色，最終的得數(shù)并不等于1，而是接近于1.64493。這可以通過數(shù)學證明來支持我們的觀點。
�。▽W情預(yù)設(shè)：學生提出書本的圓形圖和線段圖，若沒有學生提出，教師自己提出。）
2.利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。
�。�1）書本上有兩幅圖，我們一起來看看（課件出示）。一幅是描繪著一個圓形的圖像，另一幅是展示著線段的圖像。你能夠理解這些圖像所表達的`含義嗎？請你思考一下，并將你的想法告訴大家。請回答你自己對這兩幅圖像的理解和含義。
（2）學生看書思考。
（3）全班交流，課件演示，得出結(jié)論：這些分數(shù)不斷加下去，總和就是1。
【設(shè)計意圖】通過結(jié)合數(shù)學與幾何，讓學生直觀地體會極限的數(shù)學思想，并引導他們從猜想得到數(shù)值“1”的過程中，通過數(shù)形結(jié)合進行證明。這樣的設(shè)計旨在激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣，培養(yǎng)他們追求新知識的精神。
3.課堂小結(jié)。
對于這種借用圖形來幫助我們解決問題的方法，你有什么感受？
教師小結(jié)：
當涉及到“數(shù)”和“形”的問題時，我們會發(fā)現(xiàn)它們之間存在著密切的聯(lián)系，并且在特定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。通過運用數(shù)學和幾何的結(jié)合方法來解決問題，我們會發(fā)現(xiàn)許多原本困難的難題變得簡單起來。
4.舉一反三。
在我們的學習過程中，數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學方法，可以幫助我們更好地解題。以下是一些例子：
1.一年級的加法練習：在教學一年級的加法時，教師可以使用圖形來輔助學生理解和計算。例如，可以用水果圖形來表示兩個數(shù)的相加，讓學生將相應(yīng)數(shù)量的水果圖形放在一起，然后數(shù)出總數(shù)。
2.分數(shù)的認識：在教學分數(shù)時，教師可以使用圖形來幫助學生理解分數(shù)的概念。例如，可以使用矩形或圓形的圖形，將其劃分成不同的部分，并讓學生用圖形表示一個分數(shù)。這樣，學生就可以直觀地看到分數(shù)的大小和意義。
3.復雜的路程問題：在解決復雜的路程問題時，可以使用圖形來幫助我們可視化和理解問題。例如，可以使用地圖來表示不同的位置和路徑，讓學生根據(jù)地圖上的信息解決問題。這樣，學生就可以更清楚地看到不同位置之間的距離和方向關(guān)系。通過數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法，我們可以將抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為具體有形的圖形，在解題過程中更容易理解和應(yīng)用。
【設(shè)計意圖】讓學生體會“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學學習中常用的方法。
三、練習鞏固
1.基礎(chǔ)練習。
�。�1）學生獨立計算。
（2）全班交流反饋。
【設(shè)計意圖】通過練習，回顧新知，鞏固新知，使學生對新知識掌握得更扎實。
小敏、小楊、小華、小宇和小志5人進行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小敏已經(jīng)下了4盤，小楊下了3盤，小華下了2盤，小宇下了1盤。請問：小志一共下了幾盤？分別和誰下的？小志一共下了4盤，分別是與小敏、小楊、小華和小宇下的。
解決問題
（1）全班讀題，學生獨立思考。
�。�2）指名回答。
�。�3）根據(jù)學生回答情況，連線（課件演示）。
�。�4）結(jié)合連線圖得出：小剛一共下了2盤，分別和小林、小強下的。
【設(shè)計意圖】讓學生進一步體會數(shù)形結(jié)合的直觀性和變難為易的特點。
四、課堂總結(jié)
快下課了，請你來說說這節(jié)課有什么收獲？
課后反思：
圖形的直觀形象的特點，決定了化數(shù)為形往往能達到以簡馭繁的目的，例2中，用舉例的方法求出等比數(shù)列的有限和，都不能證明無限多項相加結(jié)果為1，但是接近1，但這個無限接近于1的數(shù)是多少呢？電子白板呈現(xiàn)出圓形模型和線段模型來表示“1”，使學生結(jié)合分數(shù)意義，在圓上和線段上分別有規(guī)律地表示這些加數(shù)，當這個過程無止境地持續(xù)下去時，所有的扇形和線段就會把整個圓和整條線段占滿，即和為“1”，用畫圖的方法來表示計算過程和結(jié)果，讓學生感受到什么叫無限接近，什么叫直觀形象，同時，一個極其抽象的極限問題，變得十分直觀和便捷。
等比數(shù)列教案7
教學目標
1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題.
(1)正確理解等比數(shù)列的定義，了解公比的概念，明確一個數(shù)列是等比數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列，了解等比中項的概念;
(2)正確認識使用等比數(shù)列的表示法，能靈活運用通項公式求等比數(shù)列的首項、公比、項數(shù)及指定的項;
(3)通過通項公式認識等比數(shù)列的性質(zhì)，能解決某些實際問題.
2.通過對等比數(shù)列的研究，逐步培養(yǎng)學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì).
3.通過對等比數(shù)列概念的歸納，進一步培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態(tài)度.
教學建議
教材分析
(1)知識結(jié)構(gòu)
等比數(shù)列是另一個簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出等比數(shù)列的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應(yīng)用.
(2)重點、難點分析
教學重點是等比數(shù)列的定義和對通項公式的認識與應(yīng)用，教學難點在于等比數(shù)列通項公式的推導和運用.
�、倥c等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項公式得出等比數(shù)列的特性，這些是教學的'重點.
②雖然在等差數(shù)列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉;在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力;第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點.
�、蹖Φ炔顢�(shù)列、等比數(shù)列的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.
教學建議
(1)建議本節(jié)課分兩課時，一節(jié)課為等比數(shù)列的概念，一節(jié)課為等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用.
(2)等比數(shù)列概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義.也可將幾個等差數(shù)列和幾個等比數(shù)列混在一起給出，由學生將這些數(shù)列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括等比數(shù)列的定義.
(3)根據(jù)定義讓學生分析等比數(shù)列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解.
(4)對比等差數(shù)列的表示法，由學生歸納等比數(shù)列的各種表示法. 啟發(fā)學生用函數(shù)觀點認識通項公式，由通項公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象.
(5)由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗，等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn).
(6)可讓學生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學生的主體作用.
教學設(shè)計示例
課題：等比數(shù)列的概念
教學目標
1.通過教學使學生理解等比數(shù)列的概念，推導并掌握通項公式.
2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學生的觀察、概括能力.
3.培養(yǎng)學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.
教學重點，難點
重點、難點是等比數(shù)列的定義的歸納及通項公式的推導.
教學用具
投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學方法
討論、談話法.
教學過程
一、提出問題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標準.(幻燈片)
�、�-2，1，4，7，10，13，16，19，
�、�8，16，32，64，128，256，
�、�1，1，1，1，1，1，1，
�、�
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243，81，27，9，3，1，
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⑤31，29，27，25，23，21，19，
⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，
�、�1，-10，100，-1000，10000，-100000，
�、�0，0，0，0，0，0，0，
由學生發(fā)表意見(可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類)，統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列(學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數(shù)列).
二、講解新課 請學生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題假設(shè)每經(jīng)過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設(shè)開始有一個變形蟲，經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲，，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù)。
這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列等比數(shù)列. (這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)
等比數(shù)列教案8
教學目標1.熟練運用等差、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和式以及有關(guān)性質(zhì)，分析和解決等差、等比數(shù)列的綜合問題。2.突出方程思想的應(yīng)用，引導學生選擇簡捷合理的運算途徑，提高運算速度和運算能力。3.用類比思想加深對等差數(shù)列與等比數(shù)列概念和性質(zhì)的理解。教學重點與難點用方程的觀點認識等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，從本質(zhì)上掌握公式。例題例1三個互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，如果適當排列這三個數(shù)也可以成等比數(shù)列，又知這三個數(shù)的和為6，求這三個數(shù)。例2數(shù)列中，……，求的值。例3有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩個數(shù)之和是21，中間兩個數(shù)的和是18，求這四個數(shù)。例4已知數(shù)列的前項的和，求數(shù)列前項的和。例5是否存在等比數(shù)列，其前項的和組成的數(shù)列也是等比數(shù)列？例6數(shù)列是首項為0的等差數(shù)列，數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列的前三項依次為1，1，2，（1）求數(shù)列、的通項公式；
�。�2）求數(shù)列的前10項的和。例7已知數(shù)列滿足，.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求的表達式和的表達式。
作業(yè)：
1.已知同號，則是成等比數(shù)列的
�。╝）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件
（c）充要條件（d）既不充分而也不必要條件
2.如果和是兩個等差數(shù)列，其中，那么等于
�。╝）（b）（c）3（d）
3.若某等比數(shù)列中，前7項和為48，前14項和為60，則前21項和為
(a)180(b)108(c)75(d)63
4.已知數(shù)列，對所有，其前項的積為，求的值，5.已知為等差數(shù)列，前10項的和為，前100項的.和為，求前110項的和
6.等差數(shù)列中，依次抽出這個數(shù)列的第項，組成數(shù)列，求數(shù)列的通項公式和前項和公式。
7.已知數(shù)列，（1）求通項公式；
�。�2）若，求數(shù)列的最小項的值；
�。�3）數(shù)列的前項和為，求數(shù)列前項的和.
8.三數(shù)成等比數(shù)列，若第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等差數(shù)列的第三個數(shù)加上32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。
等比數(shù)列教案9
一、教材分析
1、從在教材中的地位與作用來看
《等比數(shù)列的前n項和》是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，從教材的編寫順序上來看，等比數(shù)列的前n項和是第三章“數(shù)列”第五節(jié)的內(nèi)容，一方面它是“等差數(shù)列的前n項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、與前面學習的函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進一步學習“數(shù)列的極限”等內(nèi)容作準備。就知識的應(yīng)用價值上來看，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)。就內(nèi)容的人文價值上來看，等比數(shù)列的前n項和公式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和探索精神，是培養(yǎng)學生應(yīng)用意識和數(shù)學能力的良好載體。
2、從學生認知角度來看
從學生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導．不利因素是：本節(jié)公式的推導與等差數(shù)列前n項和公式的推導有著本質(zhì)的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。
3、學情分析
教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，對問題的分析缺乏深刻性和嚴謹性。
4、重點、難點
教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用．教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用．
公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數(shù)學數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數(shù)學思想，所以既是重點也是難點。
二、目標分析
1、知識與技能目標：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
2、過程與方法目標：通過公式的推導過程，培養(yǎng)學生猜想、分析、綜合的思維能力，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。
3、情感態(tài)度與價值觀：通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學的嚴謹美。用數(shù)學的觀點看問題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學的態(tài)度認識世界。
三、教學方法與教學手段
本節(jié)課屬于新授課型，主要利用計算機和實物投影等輔助教學，采用啟發(fā)探究，合作學習，自主學習等的教學模式。
四、教學過程分析
學生是認知的主體，也是教學活動的主體，設(shè)計教學過程必須遵循學生的認知規(guī)律，引導學生去經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點，我按照自主學習的教學模式來設(shè)計如下的教學過程，目的是在教學過程中促使學生自主學習，培養(yǎng)自主學習的習慣和意識，形成自主學習的能力。
1．創(chuàng)設(shè)情境，提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大舍罕為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王覺得太容易了，就同意了他的要求。國王令宮廷數(shù)學家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？大家想一下，這個國王能夠滿足宰相的要求嗎？
【教師提問】
同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥�？倲�(shù)．帶著這樣的`問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和．這時我對他們的這種思路給予肯定．
2．學生探究，解決情境
263在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，2，，2是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學問題呢？
探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)設(shè)s=1+2+22+23++26364系？（學生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）
探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則2s64=2+22+23++263+264，記為（2）式．比較（1）（2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？有
【設(shè)計意圖】留出時間讓學生充分地比較，等比數(shù)列前n項和的公式推導關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是很顯然的事，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應(yīng)著力在這兒做文章，從而培養(yǎng)學生的辯證思維能力．
解決情境問題：經(jīng)過比較、研究，學生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩
s642641式相減，相同的項就可以消去了，得到：。老師強調(diào)指出：這就是錯位相減法，并2要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設(shè)計意圖】經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了，讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的信心，同時也為推導一般等比數(shù)列前n項和提供了方法。
3．類比聯(lián)想，解決問題
這時我再順勢引導學生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列為an，公比為q，如何求它的前n項和？讓學生自主完成，然后對個別學生進行指導。
一般等比數(shù)列前n項和：Sna1a2a3an1an？
即Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1？
方法1：錯位相減法
2n2a1qn1Sna1a1qa1qa1q 23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qa1（1qn）（1q）Sna1a1q1q這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時是什么數(shù)列？此時sn=？
na1（1qn）Sn1qna1q1
q1na1a1qn在學生推導完成之后，我再問：由（1q）Sna1a1q得Sn
1q【設(shè)計意圖】在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。
4．討論交流，延伸拓展
探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道，sn=a1+a1q+a1q2++a1qn—1=a1+q（a1+a1q++a1qn—2）那么我們能否利用這個關(guān)系而求出Sn呢？方法2：提取公比q Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1 a1q（a1a1qa1qn2）a1q（Sna1qn1）（1q）Sna1a1qn
根據(jù)等比數(shù)列的定義又有呢？
方法3：利用等比定理
a2a3a4an=====q，能否聯(lián)想到等比定理從而求出sna1a2a3an—13
aaa2a34nq a1a2a3an1a2a3anSa1qn（1q）Sna1anq
Saa1a2an1nn
【設(shè)計意圖】以疑導思，激發(fā)學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍。以上兩種方法都可以化歸到Sna1qsn1，這其實就是關(guān)于Sn的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發(fā)展有促進作用。領(lǐng)悟數(shù)學應(yīng)用價值，從特殊到一般，從模仿到創(chuàng)新，有利于學生的知識遷移和能力提高。
5．鞏固提高，深化認識
（1）口答：
在公比為q的等比數(shù)列{an}中
若a12，q1，則Sn________，若a11，q1，則Sn________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a31，S34（2）判斷是非：
1（12n）①1248（2）
�。ǎ�12n23n1（12）②12222
�。ǎ�
12③若c0且c1，則
n1121，求a1及q。2cccc2462nc2[1（c2）n]1c
2（）
【設(shè)計意圖】對公式的再認識，剖析公式中的基本量及結(jié)構(gòu)特征，識記公式，并加強計算能力的訓練。
6．例題講解，形成技能
例1．求和
1aaaa
1111例2．求等比數(shù)列，，，，的第5項到第10項的和．
24816方法1：觀察、發(fā)現(xiàn)：a5a6a10S10S4．
方法2：此等比數(shù)列的連續(xù)項從第5項到第10項構(gòu)成一個新的等比數(shù)列：首項為a516，公比為q2，項數(shù)為n6．
23n1111變式1：求11，2，3，4，5的前n項和．248163212345變式2：求，，，，的前n項和．
2481632【設(shè)計意圖】采用變式教學設(shè)計題組，深化學生對公式的認識和理解，通過直接套用公
4式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的形成．通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養(yǎng)學生自主學習的意識．解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥。
7�？偨Y(jié)歸納，加深理解
以問題的形式出現(xiàn)，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學思想方法兩方面總結(jié)。
【設(shè)計意圖】以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
8．課后作業(yè)，分層練習
必做：P129練習3（1）習題3。5第1題選作：思考題（1）：求和x+2x2+3x3++nxn。（2）畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，依此類推，這樣一共畫了10個正方形，求這10個正方形的面積的和。
【設(shè)計意圖】布置彈性作業(yè)以使各個層次的學生都有所發(fā)展。讓學有余力的學生有思考的空間，便于學生開展自主學習。
五、評價分析
本節(jié)課通過三種推導方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項和公式．錯位相減：變加為減，等價轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸定義，自然樸實．學生從中深刻地領(lǐng)會到推導過程中所蘊含的數(shù)學思想，培養(yǎng)了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時通過精講一題，發(fā)散一串的變式教學，使學生既鞏固了知識，又形成了技能，在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養(yǎng)了學生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)，形成學習能力。
六、教學設(shè)計說明
1．情境設(shè)置生活化。本著新課程的教學理念，考慮到高一學生的心理特點以及初、高中教學的銜接，讓學生學生初步了解“數(shù)學來源于生活”，采用故事的形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積極的學習氣氛，激發(fā)學生主動探究的欲望。
2．問題探究活動化．
教學中本著以學生發(fā)展為本的理念，充分給學生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學習、合作探究，展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數(shù)學學習成功的喜悅。通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學生的數(shù)學觀察能力和語言表達能力，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和嚴謹性。
3．辨析質(zhì)疑結(jié)構(gòu)化．
在理解公式的基礎(chǔ)上，及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習。通過總結(jié)、辨析和反思，強化了公式的結(jié)構(gòu)特征，促進學生主動建構(gòu)，有助于學生形成知識模塊，
5優(yōu)化知識體系。
4．鞏固提高梯度化．
例題通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用知識的能力；由教科書中的例題改編而成，并進行適當?shù)淖兪�，可以提高學生的模式識別的能力，培養(yǎng)學生思維的深刻性和靈活性。 5．思路拓廣數(shù)學化．
從整理知識提升到強化方法，由課內(nèi)鞏固延伸到課外思考，變“知識本位”為“學生本位”，使數(shù)學學習成為提高學生素質(zhì)的有效途徑。以生活中的實例作為思考，讓學生認識到數(shù)學來源于生活并應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學．6．作業(yè)布置彈性化．
通過布置彈性作業(yè)，為學有余力的學生提供進一步發(fā)展的空間，有利于豐富學生的知識，拓展學生的視野，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)．
等比數(shù)列教案10
教學內(nèi)容：
人教版小學數(shù)學教材六年級下冊第107～108頁例2及相關(guān)練習。
教學目標：
1．在學習過程中引導學生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學會利用圖形來解決一些有關(guān)數(shù)的問題。
2．讓學生經(jīng)歷猜想與驗證的過程，體會和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學思想。
重點難點：
探索數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，并利用圖形來解決有關(guān)數(shù)的問題。
教學準備：
教學課件。
教學過程：
一、直接導入，揭示課題
同學們，上節(jié)課我們探究了圖形中隱藏的數(shù)的規(guī)律，今天我們繼續(xù)研究有關(guān)數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。（板書課題：數(shù)與形）
【設(shè)計意圖】直奔主題，簡潔明了，有利于學生清楚本節(jié)課學習的內(nèi)容和方向。
二、探索發(fā)現(xiàn)，學習新知
�。ㄒ唬┙處熍c學生比賽算題
1．教師：你知道等于多少嗎？（學生：）
教師：那等于多少呢？（學生計算需要時間）教師緊接著說：我已經(jīng)算好了，是，不信你算算。
2．只要按照這個分子是1，分母依次擴大2倍的規(guī)律寫下去，不管有多少個分數(shù)相加，我都能立馬算出結(jié)果。有的同學不相信是嗎？咱們試試就知道。為了方便，我請我們班計算最快的同學跟我一起算，看看結(jié)果是否相同。誰來出題？
在學生出題后，老師都能立刻算出結(jié)果，并且是正確的，學生感到很驚奇。
3．知道我為什么算得那么快嗎？因為我有一件神秘的法寶，你們也想知道嗎？
【設(shè)計意圖】一方面，教師通過與學生比賽計算速度，且每次老師勝利，使學生產(chǎn)生好奇心，再通過教師幽默的語言，吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲。另一方面，為接下來學習例題做好鋪墊。
（二）借助正方形探究計算方法
1．這件法寶就是（師邊說邊課件出示一個正方形），讓我們來把它變一變，聰明的同學們一定能看明白是怎么回事了。
2．進行演示講解。
�。�1）演示：用一個正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。
想一想：正方形中表示的涂色部分與空白部分和整個正方形之間有什么關(guān)系呢？（涂色部分等于“1”減去空白部分）空白部分占正方形的幾分之幾？（）那么涂色部分還可以怎么算呢？（），也就是說。
（2）繼續(xù)演示，誰知道除了通分，還可以怎么算？
根據(jù)學生回答，板書。
�。�3）演示：那么計算就可以得到？（）。
3．看到這兒，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？
4．小結(jié)：按照這樣的規(guī)律往下加，不管加到幾分之一，只要用1減去這個幾分之一就可以得到答案了。
5．這個法寶怎么樣？誰來說說它好在哪里？你學會了嗎？
6．嘗試練習
【設(shè)計意圖】將復雜的數(shù)量運算轉(zhuǎn)化為簡單的圖形面積計算，轉(zhuǎn)繁為簡，轉(zhuǎn)難為易，引導學生探索數(shù)與圖形的聯(lián)系，讓學生體會到數(shù)形結(jié)合、歸納推理的數(shù)學思想方法。
�。ㄈ┲R提升，探索發(fā)現(xiàn)
1．感受極限。
�。�1）剛才我們已經(jīng)從一直加到了，如果我繼續(xù)加，加到，得數(shù)等于？（）再接著加，一直加到，得數(shù)等于？（）隨著不斷繼續(xù)加，你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來越？（大）無數(shù)個這樣的數(shù)相加，和會是多少呢？
�。�2）這時候你心中有沒有一個大膽的猜想？（學生猜想：這樣一直加下去，得數(shù)會不會就等于1了。）
�。�3）想象一下，如果我們在剛才加的過程中在正方形上不斷涂色，那空白部分的面積就越來越？（小）而涂色部分的面積越來越接近？（1）也就是求和的得數(shù)越來越接近？（1）最終得數(shù)是1嗎？你有什么方法來證明得數(shù)就是1？
�。▽W情預(yù)設(shè)：學生提出書本的圓形圖和線段圖，若沒有學生提出，教師自己提出。）
2．利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。
（1）書本上有兩幅圖，我們一起來看看（課件出示）。一幅是圓形圖，一幅是線段圖，你能看懂它的.意思嗎？請你想一想，然后告訴大家你的想法。
�。�2）學生看書思考。
�。�3）全班交流，課件演示，得出結(jié)論：這些分數(shù)不斷加下去，總和就是1。
【設(shè)計意圖】利用數(shù)與形的結(jié)合，讓學生直觀體會極限數(shù)學思想，并讓學生經(jīng)歷猜想得數(shù)等于“1”，到數(shù)形結(jié)合證明得數(shù)等于“1”的過程，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生探索新知的精神。
3．課堂小結(jié)。
對于這種借用圖形來幫助我們解決問題的方法，你有什么感受？
教師小結(jié)：是的，“數(shù)”與“形”有著緊密的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。當用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題時，你會發(fā)現(xiàn)許多難題的解決變得很簡單。
4．舉一反三。
其實在以前的學習中，我們也常用到到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法幫助我們解題，你能想到些例子嗎？（如學生有困難，教師舉例：一年級加法，分數(shù)的認識，復雜的路程問題線段圖等。）
等比數(shù)列教案11
一、概述
教材內(nèi)容:等比數(shù)列的概念和通項公式的推導及簡單應(yīng)用 教材難點：靈活應(yīng)用等比數(shù)列及通項公式解決一般問題 教材重點：等比數(shù)列的概念和通項公式
二、教學目標分析
1. 知識目標
1）
2） 掌握等比數(shù)列的定義 理解等比數(shù)列的通項公式及其推導
2．能力目標
1）學會通過實例歸納概念
2）通過學習等比數(shù)列的通項公式及其推導學會歸納假設(shè)
3）提高數(shù)學建模的能力
3、情感目標：
1）充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型
2）體會數(shù)學是來源于現(xiàn)實生活并應(yīng)用于現(xiàn)實生活
3）數(shù)學是豐富多彩的而不是枯燥無味的'
三、教學對象及學習需要分析
1、 教學對象分析：
1）高中生已經(jīng)有一定的學習能力，對各方面的知識有一定的基礎(chǔ)，理解能力較強。并掌握了函數(shù)及個別特殊函數(shù)的性質(zhì)及圖像，如指數(shù)函數(shù)。之前也剛學習了等差數(shù)列，在學習這一章節(jié)時可聯(lián)系以前所學的進行引導教學。
2）對歸納假設(shè)較弱，應(yīng)加強這方面教學
2、學習需要分析：
四. 教學策略選擇與設(shè)計
1.課前復習
1）復習等差數(shù)列的概念及通向公式
2）復習指數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)
2．情景導入
等比數(shù)列教案12
教學目標
1.理解的概念，掌握的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題.
(1)正確理解的定義，了解公比的概念，明確一個數(shù)列是的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是，了解等比中項的概念;
(2)正確認識使用的表示法，能靈活運用通項公式求的首項、公比、項數(shù)及指定的項;
(3)通過通項公式認識的性質(zhì)，能解決某些實際問題.
2.通過對的研究，逐步培養(yǎng)學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì).
3.通過對概念的歸納，進一步培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態(tài)度.
教學建議
教材分析
(1)知識結(jié)構(gòu)
是另一個簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應(yīng)用.
(2)重點、難點分析
教學重點是的定義和對通項公式的認識與應(yīng)用，教學難點在于通項公式的推導和運用.
�、倥c等差數(shù)列一樣，也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項公式得出的特性，這些是教學的重點.
�、陔m然在等差數(shù)列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉;在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力;第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點.
�、蹖Φ炔顢�(shù)列、的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.
教學建議
(1)建議本節(jié)課分兩課時，一節(jié)課為的概念，一節(jié)課為通項公式的應(yīng)用.
(2)概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到的定義.也可將幾個等差數(shù)列和幾個混在一起給出，由學生將這些數(shù)列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括的定義.
(3)根據(jù)定義讓學生分析的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解.
(4)對比等差數(shù)列的表示法，由學生歸納的各種表示法.啟發(fā)學生用函數(shù)觀點認識通項公式，由通項公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象.
(5)由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗，的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn).
(6)可讓學生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學生的主體作用.
教學設(shè)計示例
課題：的概念
教學目標
1.通過教學使學生理解的概念，推導并掌握通項公式.
2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學生的觀察、概括能力.
3.培養(yǎng)學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.
教學重點，難點
重點、難點是的定義的歸納及通項公式的推導.
教學用具
投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學方法
討論、談話法.
教學過程
一、提出問題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標準.(幻燈片)
�、�-2，1，4，7，10，13，16，19，…
�、�8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
�、�243，81，27，9，3，1，，，…
�、�31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，…
⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由學生發(fā)表意見(可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類)，統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列(學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為).
二、講解新課
請學生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題.假設(shè)每經(jīng)過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設(shè)開始有一個變形蟲，經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲，…，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù)這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列——. (這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)
(板書)
1.的定義(板書)
根據(jù)與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給下定義.學生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下，有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學生概括出來的教師寫出的定義，標注出重點詞語.
請學生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數(shù)列既是等差數(shù)列又是.學生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例.而后請學生概括這類數(shù)列的一般形式，學生可能說形如的數(shù)列都滿足既是等差又是，讓學生討論后得出結(jié)論：當時，數(shù)列既是等差又是，當時，它只是等差數(shù)列，而不是.教師追問理由，引出對的認識：
2.對定義的認識(板書)
(1)的首項不為0;
(2)的每一項都不為0，即;
問題：一個數(shù)列各項均不為0是這個數(shù)列為的什么條件?
(3)公比不為0.
用數(shù)學式子表示的定義.
是①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成，可讓學生研究行不行，好不好;接下來再問，能否改寫為是?為什么不能?
式子給出了數(shù)列第項與第項的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個?(不能)確定一個需要幾個條件?當給定了首項及公比后，如何求任意一項的值?所以要研究通項公式.
3.的通項公式(板書)
問題：用和表示第項.
①不完全歸納法
�、诏B乘法，…，，這個式子相乘得，所以.
(板書)(1)的通項公式
得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式.
(板書)(2)對公式的認識
由學生來說，最后歸結(jié)：
①函數(shù)觀點;
�、诜匠趟枷�(因在等差數(shù)列中已有認識，此處再復習鞏固而已).
這里強調(diào)方程思想解決問題.方程中有四個量，知三求一，這是公式最簡單的應(yīng)用，請學生舉例(應(yīng)能編出四類問題).解題格式是什么?(不僅要會解題，還要注意規(guī)范表述的訓練)
如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更高層次的應(yīng)用，下節(jié)課再研究.同學可以試著編幾道題.
1.本節(jié)課研究了的`概念，得到了通項公式;
2.注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比;
3.用方程的思想認識通項公式，并加以應(yīng)用.
四、作業(yè)(略)
五、板書設(shè)計
1.等比數(shù)列的定義
2.對定義的認識
3.等比數(shù)列的通項公式
(1)公式
(2)對公式的認識
探究活動
將一張很大的薄紙對折，對折30次后(如果可能的話)有多厚?不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米.
參考答案：
30次后，厚度為，這個厚度超過了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度.如果紙再薄一些，比如紙厚0.001毫米，對折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了.還記得國王的承諾嗎?第31個格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了，后邊的格子中的米就更多了，最后一個格子中的米應(yīng)是粒，用計算器算一下吧(用對數(shù)算也行).
等比數(shù)列教案二
1.教學任務(wù)分析
1.1學情分析
本節(jié)課的授課對象是我校學生，數(shù)學水平參差不齊，依賴性強，接受能力一般，靈活性不夠。因此本節(jié)課采用低起點，由淺到深，由易到難逐步推進，熱情地啟發(fā)學生的思維，讓學生在歡愉的氣氛中獲取知識和運用知識的能力。
1.2教材分析
1.2.1教材地位和作用
所用的教材是人教版《必修5》，教材通過日常生活中的實例，講解等比數(shù)列的概念，特別地要體現(xiàn)它是一種特殊函數(shù)，通過列表，圖像，通項公式來表達等比數(shù)列，把數(shù)列融于函數(shù)之中，體現(xiàn)了數(shù)列的本質(zhì)和內(nèi)涵。等比數(shù)列的定義與通項不僅是本章的重點和難點，也是高中階段培養(yǎng)學生邏輯推理的重要載體之一，為培養(yǎng)學生思維的靈活性和創(chuàng)造性打下堅實的基礎(chǔ)。
同時本節(jié)課是在學生已經(jīng)系統(tǒng)地學習了一種常用數(shù)列，即等差數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式的基礎(chǔ)上，開始學習另一種常用數(shù)列，即等比數(shù)列的相應(yīng)知識，我認為本節(jié)教材對于進—步滲透數(shù)學思想，發(fā)展邏輯思維能力，提高學生的品質(zhì)素養(yǎng)均有較好作用。眾所周知，數(shù)列是中學數(shù)學的重點內(nèi)容之一，也是高考的考查重點之一，其中等差數(shù)列和等比數(shù)列尤為重要，有關(guān)數(shù)列的問題，大多數(shù)都是歸結(jié)為這兩種基本數(shù)列加以解決的：而且這兩途中數(shù)列在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，這說要求教學中高度重視，并有新的突破，拓展和引深。
1.2.2教學任務(wù)和目標
教學任務(wù)分析：通過觀察、歸納、猜想、類比等思維品質(zhì)，正確理解等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列通項公式。以及具體的知識運用及實際應(yīng)用。
本堂課內(nèi)容的編者按：首先注意前后知識的區(qū)別與聯(lián)系，加強對比和類比，展示等比數(shù)列概念的形成和和指數(shù)函數(shù)的對應(yīng)等深化過程，使得后進生部有發(fā)言權(quán)，優(yōu)生也不乏味，從而達到面向全體的目的，激發(fā)學生學習數(shù)學興趣。其次體會研究等比數(shù)列通項公式簡單歸納方法：特殊→一般，重溫數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念和數(shù)學公式的思維活動過程，沿著數(shù)學家尋求真理的足跡，再現(xiàn)與前人類似的創(chuàng)造過程。
教學目標：
知識目標：理解并掌握等比數(shù)列的定義和通項公式，并加以初步應(yīng)用。
能力目標：通過慨念、公式和例題的教學，滲透類比思想、方程思想、函數(shù)思想以及從特殊到—般等數(shù)學思想，著重培養(yǎng)學生觀察、比較、概括、歸納、演繹等方面的思維能力，并進—步培養(yǎng)運算能力，分析問題和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識。
品質(zhì)素養(yǎng)目標：在傳授知識培養(yǎng)能力的同時，培養(yǎng)學生勇于探求，敢于創(chuàng)新的精神，同時幫助學生樹立克服困難的信心，培養(yǎng)學生良好的學習習慣意志品質(zhì)。
1.2.3教學重點和難點
教學重點：等比數(shù)列、等比中項的概念的形成與深化;等比數(shù)列通項公式的推導及應(yīng)用。
教學難點是：等比數(shù)列概念深化：體現(xiàn)它是一種特殊函數(shù)，等比數(shù)列的判定、證明及初步應(yīng)用。
2.教材教法和學法分析
2.1教材的處理
鑒于學生已基本上掌握數(shù)列概念，等差數(shù)列概念及通項公式(有利因素)，但于由學生對教師，書本對于依賴，獨立探索的信心和能力尚顯不足(不利因素)，故應(yīng)稀釋、放大、拉長等比數(shù)列概念的形成，展示深代過程和通項公式的推導過程，體現(xiàn)過程教學法。講完課本例1、例2，例3，把等比中項的概念安排到第二課時教學。本節(jié)著重體現(xiàn)等比數(shù)列概念形成的過程及通項公式的推導與運用。
等比數(shù)列教案三
教學準備
教學目標
1、數(shù)學知識：掌握等比數(shù)列的概念，通項公式，及其有關(guān)性質(zhì);
2、數(shù)學能力：通過等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比學習，培養(yǎng)學生類比歸納的能力;
歸納——猜想——證明的數(shù)學研究方法;
3、數(shù)學思想：培養(yǎng)學生分類討論，函數(shù)的數(shù)學思想。
教學重難點
重點：等比數(shù)列的概念及其通項公式，如何通過類比利用等差數(shù)列學習等比數(shù)列;
難點：等比數(shù)列的性質(zhì)的探索過程。
教學過程
教學過程：
1、問題引入：
前面我們已經(jīng)研究了一類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列。
問題1：滿足什么條件的數(shù)列是等差數(shù)列?如何確定一個等差數(shù)列?
(學生口述，并投影)：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
要想確定一個等差數(shù)列，只要知道它的首項a1和公差d。
已知等差數(shù)列的首項a1和d，那么等差數(shù)列的通項公式為：(板書)an=a1+(n-1)d。
師：事實上，等差數(shù)列的關(guān)鍵是一個“差”字，即如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
(第一次類比)類似的，我們提出這樣一個問題。
問題2：如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的……等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做……數(shù)列。
(這里以填空的形式引導學生發(fā)揮自己的想法，對于“和”與“積”的情況，可以利用具體的例子予以說明：如果一個數(shù)列，從第2項起，每一項與它的前一項的“和”(或“積”)等于同一個常數(shù)的話，這個數(shù)列是一個各項重復出現(xiàn)的“周期數(shù)列”，而與等差數(shù)列最相似的是“比”為同一個常數(shù)的情況。而這個數(shù)列就是我們今天要研究的等比數(shù)列了。)
2、新課：
1)等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做公比。
師：這就牽涉到等比數(shù)列的通項公式問題，回憶一下等差數(shù)列的通項公式是怎樣得到的?類似于等差數(shù)列，要想確定一個等比數(shù)列的通項公式，要知道什么?
師生共同簡要回顧等差數(shù)列的通項公式推導的方法：累加法和迭代法。
公式的推導：(師生共同完成)
若設(shè)等比數(shù)列的公比為q和首項為a1，則有：
方法一：(累乘法)
3)等比數(shù)列的性質(zhì)：
下面我們一起來研究一下等比數(shù)列的性質(zhì)
通過上面的研究，我們發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列和等差數(shù)列之間似乎有著相似的地方，這為我們研究等比數(shù)列的性質(zhì)提供了一條思路：我們可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)，通過類比得到等比數(shù)列的性質(zhì)。
問題4：如果{an}是一個等差數(shù)列，它有哪些性質(zhì)?
(根據(jù)學生實際情況，可引導學生通過具體例子，尋找規(guī)律，如：
3、例題鞏固：
例1、一個等比數(shù)列的第二項是2，第三項與第四項的和是12，求它的第八項的值。
答案：1458或128。
例2、正項等比數(shù)列{an}中，a6·a15+a9·a12=30，則log15a1a2a3…a20=_10____.
例3、已知一個等差數(shù)列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在這個數(shù)列中取出一些項組成一個新的數(shù)列{cn}，使得{cn}是一個公比為2的等比數(shù)列，若能請指出{cn}中的第k項是等差數(shù)列中的第幾項?
(本題為開放題，沒有的答案，如對于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，則ck=2k=2×2k-1，所以{cn}中的第k項是等差數(shù)列中的第2k-1項。關(guān)鍵是對通項公式的理解)
1、小結(jié)：
今天我們主要學習了有關(guān)等比數(shù)列的概念、通項公式、以及它的性質(zhì)，通過今天的學習
我們不僅學到了關(guān)于等比數(shù)列的有關(guān)知識，更重要的是我們學會了由類比——猜想——證明的科學思維的過程。
2、作業(yè)：
P129：1，2，3
思考題：在等差數(shù)列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些項：6，12，24，48，……，組成一個新的數(shù)列{cn}，{cn}是一個公比為2的等比數(shù)列，請指出{cn}中的第k項是等差數(shù)列中的第幾項?
教學設(shè)計說明：
1、教學目標和重難點：首先作為等比數(shù)列的第一節(jié)課，對于等比數(shù)列的概念、通項公式及其性質(zhì)是學生接下來學習等比數(shù)列的基礎(chǔ)，是必須要落實的;其次，數(shù)學教學除了要傳授知識，更重要的是傳授科學的研究方法，等比數(shù)列是在等差數(shù)列之后學習的因此對等比數(shù)列的學習必然要和等差數(shù)列結(jié)合起來，通過等比數(shù)列和等差數(shù)列的類比學習，對培養(yǎng)學生類比——猜想——證明的科學研究方法是有利的。這也就成了本節(jié)課的重點。
2、教學設(shè)計過程：本節(jié)課主要從以下幾個方面展開：
1)通過復習等差數(shù)列的定義，類比得出等比數(shù)列的定義;
2)等比數(shù)列的通項公式的推導;
3)等比數(shù)列的性質(zhì);
有意識的引導學生復習等差數(shù)列的定義及其通項公式的探求思路，一方面使學生回顧舊
知識，另一方面使學生通過聯(lián)想，為類比地探索等比數(shù)列的定義、通項公式奠定基礎(chǔ)。
在類比得到等比數(shù)列的定義之后，再對幾個具體的數(shù)列進行鑒別，旨在遵循“特殊——一般——特殊”的認識規(guī)律，使學生體會觀察、類比、歸納等合情推理方法的應(yīng)用。培養(yǎng)學生應(yīng)用知識的能力。
在得到等比數(shù)列的定義之后，探索等比數(shù)列的通項公式又是一個重點。這里通過問題3的設(shè)計，使學生產(chǎn)生不得不考慮通項公式的心理傾向，造成學生認知上的沖突，從而使學生主動完成對知識的接受。
通過等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的比較使學生初步體會到等差和等比的相似性，為下面類比學習等比數(shù)列的性質(zhì)，做好鋪墊。
等比性質(zhì)的研究是本節(jié)課的，通過類比
關(guān)于例題設(shè)計：重知識的應(yīng)用，具有開放性，為使學生更好的掌握本節(jié)課的內(nèi)容。
等比數(shù)列教案13
教學準備
教學目標
熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應(yīng)用儀式。
教學重難點
熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應(yīng)用儀式。
教學過程
【復習要求】熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應(yīng)用儀式。
【方法規(guī)律】應(yīng)用數(shù)列知識界實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是通過對實際問題的綜合分析，確定其數(shù)學模型是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，并確定其首項，公差或公比等基本元素，然后設(shè)計合理的計算方案，即數(shù)學建模是解答數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵。
一、基礎(chǔ)訓練
1、某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘*一次一個*為兩個，經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可繁殖成
A、511B、512C、1023D、1024
2、若一工廠的生產(chǎn)總值的月平均增長率為p，則年平均增長率為
A、B、
C、D、
二、典型例題
例1：某人每期期初到銀行存入一定金額A，每期利率為p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，問到第n期期末的本金和是多少？
評析：此例來自一種常見的存款叫做零存整取。存款的方式為每月的某日存入一定的金額，這是零存，一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取。計算本利和就是本例所用的有窮等差數(shù)列求和的方法。用實際問題列出就是：本利和=每期存入的金額[存期+1/2存期存期+1利率]
例2：某人從1999到20xx年間，每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期儲蓄，若每年利率q保持不變，且每年到期的存款本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是多少元？
例3、某地區(qū)位于沙漠邊緣，人與自然進行長期頑強的斗爭，到1999年底全地區(qū)的綠化率已達到30%，從20xx年開始，每年將出現(xiàn)以下的變化：原有沙漠面積的16%將栽上樹，改造為綠洲，同時，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬�。問�?jīng)過多少年的.努力才能使全縣的綠洲面積超過60%。lg2=0.3
例4、流行性感冒簡稱流感是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月分曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染著減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新的患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。
等比數(shù)列教案14
一. 教學內(nèi)容：等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
二、教學目標：
綜合運用等差、等比數(shù)列的定義式、通項公式、性質(zhì)及前n項求和公式解決相關(guān)問題.
三、要點：
（一）等差數(shù)列
1. 等差數(shù)列的前 項和公式1：
2. 等差數(shù)列的前 項和公式2：
3. （m， n， p， q ∈N ）
5. 對等差數(shù)列前n項和的最值問題有兩種：
�。�1）利用 >0，d<0，前n項和有最大值，可由 ≤0，求得n的值。
當 ≤0，且 二次函數(shù)配方法求得最值時n的值。
�。ǘ┑缺葦�(shù)列
1、等比數(shù)列的前n項和公式：
∴當 ① 或 ②
當q=1時， 時，用公式②
2、 是等比數(shù)列 不是等比數(shù)列
�、诋攓≠－1或k為奇數(shù)時， 仍成等比數(shù)列
3、等比數(shù)列的性質(zhì)：若m n=p k，則
【典型例題
例1. 在等差數(shù)列{ ＋ ＋ ＋ 。
解：由等差中項公式： ＋ ， ＝2 ＋ ＋ ＝450， ＋ ＝180
�。剑� ＋ ＋ ）＋（ ）＋＝9 為 項的和。
解：（用錯項相消法）
①-② 時，
當 時，例3. 設(shè)數(shù)列 項之和為 ，若 ，問：數(shù)列 ，
∴
即： ，∴ ，
∴即：
例4. 設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前 項之和為80，前 項中數(shù)值最大的項為54，求此數(shù)列。
解：由題意
代入（1）， ，從而
∴ 項中數(shù)值最大的`項應(yīng)為第 項
∴ ∴
∴
∴此數(shù)列為
例5. 求集合M={mm=2n－1，n∈N*，且m＜60＝的元素個數(shù)及這些元素的和。
，又∵n∈N*
∴滿足不等式n＜ = =900
答案：集合M中一共有30個元素，其和為900。
【模擬
1. 已知等比數(shù)列的公比是2，且前四項的和為1，那么前八項的和為 （ ）
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知數(shù)列{an=3n－2，在數(shù)列{an}中取ak2，akn ，… 成等比數(shù)列，若k1=2，k2=6，則k4的值 （ ）
A. 86 B. 54 C. 160 D. 256
3. 數(shù)列A. 750 B. 610 C. 510 D. 505
4.<0的最小的n值是 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，
則這個數(shù)列有 （ ）
A. 13項 B. 12項 C. 11項 D. 10項
6. 數(shù)列 并且 。則數(shù)列的第100項為（ ）
A. C. 7. 在等差數(shù)列{ ＝－15，公差d＝3，求數(shù)列{ 的元素個數(shù)，并求這些元素的和。
9. 設(shè)
�。�1）問數(shù)列 是否是等差數(shù)列？（2）求 ＝ ＋3d，∴ －15＝ ＋9， ＝－24，
∴ ＝－24n＋ ＝ [（n－ － 最小時， 最小，
即當n＝8或n＝9時， ＝－108最小
等比數(shù)列教案15
教學目標
1、通過教學使學生理解等比數(shù)列的概念，推導并掌握通項公式。
2、使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學生的觀察、概括能力。
3、培養(yǎng)學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。
教學重點，難點
重點、難點是等比數(shù)列的定義的.歸納及通項公式的推導。
教學用具
投影儀，多媒體軟件，電腦。
教學方法
討論、談話法。
教學過程
一、提出問題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標準。（幻燈片）
�、�-2，1，4，7，10，13，16，19，
�、�8，16，32，64，128，256，
�、�1，1，1，1，1，1，1，
�、�
-
243，81，27，9，3，1，
，
，
⑤31，29，27，25，23，21，19，
�、�1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，
�、�1，-10，100，-1000，10000，-100000，
⑧0，0，0，0，0，0，0，
由學生發(fā)表意見（可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類），統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數(shù)列）。
二、講解新課請學生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題假設(shè)每經(jīng)過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設(shè)開始有一個變形蟲，經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲，，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù)。
這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列等比數(shù)列。（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）
判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列？若是，找出公比；不是，請說明理由．
�。�1）1, 4, 16, 32．
�。�2）0, 2, 4, 6, 8.
�。�3）1,－10,100,－1000,10000．
�。�4）81, 27, 9, 3, 1.
（5）a, a, a, a, a.
講解例二，進一步熟悉定義，根據(jù)定義求數(shù)列未知項。最后的小例一為了由利
用定義的求解轉(zhuǎn)到利用定義證明，二為了讓學生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列隔項同號的規(guī)律。例題二
求出下列等比數(shù)列中的未知項:
�。�1）2, a, 8;
�。�2）-4, b, c,？；
？已知數(shù)列2, x, d, y,8．是等比數(shù)列
①證明數(shù)列2, d, 8.仍是等比數(shù)列．
�、谇笪粗梔.
通過兩道例題的講解，讓學生有個緩沖，做個鞏固練習。當然此練習的安排，
也是為了進一步挖掘等比數(shù)列定義的本質(zhì)，辨析找尋等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系，將具體問題再推廣到一般，并要求學生理解并掌握等比數(shù)列的判斷證明方法。
練習
判斷下列數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？
�。�1）22，2，1，2-1, 2-2 。
�。�2）3，34，37, 310 。
引申：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，而bn?2n
證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列。
由最后一例的證明，說明給出通項公式后可由定義判斷該數(shù)列是否為等比數(shù)
列。反過來若數(shù)列已經(jīng)是等比數(shù)列了，能否由定義導出數(shù)列通項公式呢？為下節(jié)課做鋪墊。
【課堂小結(jié)】
由學生通過一堂課的學習，做個簡單的歸納小結(jié)。
1理解。等比數(shù)列的定義，判斷或證明數(shù)列是否為等比數(shù)列要用定義判斷
2、等比數(shù)列公比q≠0,任意一項都不為零。
3、學習等比數(shù)列可以對照等差數(shù)列類比做研究。
【作業(yè)】
1、書p48. No.1,2;
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